Table d'intégrales

En analyse, l'intégrale définie sur l'intervalle $[a, b]$ , d'une fonction intégrable $f$ s'exprime à l'aide d'une primitive $F$ de $f$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\left[F(x)\right]_{a}^{b}{:=}F(b)-F(a).

Les primitives de la plupart des fonctions qui sont intégrables ne peuvent être exprimées sous une « forme close » (voir le théorème de Liouville). Toutefois une valeur de certaines intégrales définies de ces fonctions peut parfois être calculée. Quelques valeurs d'intégrales particulières de certaines fonctions sont données ici.

Liste

$\int _{0}^{+\infty }{x^{s-1}\mathrm {e} ^{-{\tfrac {x^{\alpha }}{\beta }}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\beta ^{s/\alpha }}{\alpha }}\Gamma (s/\alpha )$ $\int _{0}^{+\infty }{x^{s-1}\mathrm {e} ^{-{\tfrac {x^{\alpha }}{\beta }}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\beta ^{s/\alpha }}{\alpha }}\Gamma (s/\alpha )$ pour s > 0 et α, β > 0, où Γ est la fonction gamma d'Euler, dont on connait quelques valeurs particulières, comme :
- $Γ(n) = (n - 1)!$ pour $n = 1, 2, 3, \dots$
- $Γ(1 / 2) = \sqrt π$ (intégrale de Gauss)
- $Γ(3 / 2) = \sqrt π / 2$

$\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}=\Gamma (s)\zeta (s)$ $\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}=\Gamma (s)\zeta (s)$ pour s > 1, où ζ est la fonction zêta de Riemann, dont on connaît aussi quelques valeurs particulières, comme :
- $ζ(2) = π 2 / 6$
- $ζ(4) = π 4 / 90$
$\int _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi }{2}}$ (intégrale de Dirichlet)

$\int _{0}^{1}{{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{3}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)$ (intégrale elliptique ; $Β$ est la fonction bêta d'Euler)

$\int _{0}^{\pi /2}{\ln(\cos x)\,\mathrm {d} x}=\int _{0}^{\pi /2}{\ln(\sin x)\,\mathrm {d} x}=-{\frac {\pi }{2}}\ln(2)$ (intégrales d'Euler)

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\sin(x^{2})\,\mathrm {d} x}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ (intégrales de Fresnel)

$\int _{0}^{\pi }{\ln(1-2\alpha \cos \,x+\alpha ^{2})\,\mathrm {d} x}={\begin{cases}2\pi \ln |\alpha |&{\text{si }}|\alpha |>1\\0&{\text{si }}|\alpha |\leq 1\end{cases}}$ (intégrale de Poisson).

$\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{n}x\,\mathrm {d} x}=W_{n}$ (intégrales de Wallis)

${\begin{cases}\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&\approx 1{,}29\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&\approx 0{,}78\end{cases}}$ (Rêve du deuxième année, attribué à Jean Bernoulli).

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}\ln(2)$ (intégrale de Serret)
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-x}-\mathrm {e} ^{-tx}}{x}}\mathrm {d} x=\ln t$ (intégrale de Frullani)

$\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\ln(\tan(x)))\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\ln \left[{\sqrt {2\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}\right]={\frac {\pi }{4}}\ln \left[{\frac {4\pi ^{3}}{\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{4}}}\right]$ (intégrale de Vardi)